想像一下，如果你只能在一條細繩上左右移動，這就是實數軸的世界。如果你想向上跳躍，繩子無法承載你。引入複數就像為你的世界增添了一個全新的維度。每一個形如 $z = a + bi$ 的複數，不再僅僅是數軸上的一個點，而是平面上的座標 $(a, b)$，或是從原點射出的一束向量。這種「數」與「形」的完美對應，是數學史上最重要的飛躍之一。
複數的代數定義與幾何對應
在選修必修第一冊中，我們學習了複數系。複數由實部和虛部組成，其標準代數形式為 $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$)。
為了直觀理解複數，我們建立了複平面：
- 實軸：對應 $x$ 軸，代表複數的實部。
- 虛軸：對應 $y$ 軸，代表複數的虛部。
- 點與複數：複數 $z = a + bi$ 與點 $Z(a, b)$ 形成一一對應關係。
- 向量與複數：複數 $z = a + bi$ 與平面向量 $\vec{OZ}$ 形成一一對應關係。
複數的模 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，其幾何意義是複平面上點 $Z$ 到原點的距離。而 $|z_1 - z_2|$ 則是兩點間的距離。
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$
1. 收集多項式各項：一個 $x^2$ 正方形，三個 $x$ 矩形條，以及兩個 $1\times1$ 個單位正方形。
2. 開始將它們在幾何上進行拼接。
3. 它們完美地形成了一個更大的連續長方形！寬度是 $(x+2)$，高度是 $(x+1)$。
問題 1
在複平面上，$O$ 為原點，向量 $\vec{OA}$ 對應的複數為 $2+i$。若點 $A$ 關於實軸的對稱點為點 $B$，求向量 $\vec{OB}$ 對應的複數。
$2-i$
$-2+i$
$-2-i$
$1+2i$
回答正確！
解析：点 $A$ 的坐标为 $(2, 1)$。关于实轴（$x$ 轴）对称，意味着横坐标不变，纵坐标变号。因此点 $B$ 的坐标为 $(2, -1)$，对应的复数为 $2-i$。这也正是 $2+i$ 的共轭复数。
回答錯誤
提示： 關於實軸對稱，表示複數的虛部（即 $y$ 座標）變為相反數。
問題 2
緊接上題，如果點 $B$ 關於虛軸的對稱點為點 $C$，求點 $C$ 對應的複數。
$2+i$
$-2-i$
$-2+i$
$2-i$
回答正確！
解析：點 $B$ 的座標為 $(2, -1)$。關於虛軸（$y$ 軸）對稱，表示縱座標不變，橫座標變號。因此點 $C$ 的座標為 $(-2, -1)$，對應的複數為 $-2-i$。
回答錯誤
提示： 關於虛軸對稱，表示複數的實部（即 $x$ 座標）變為相反數。
問題 3
如果複數 $z$ 的實部為正數，虛部為 $3$，那麼在複平面上，複數 $z$ 對應的點位於哪種圖形上？
第一象限內的一條射線
虛軸上的一條線段
整個第一象限
實軸上方的一條直線
回答正確！
解析：設 $z = x + 3i$。由題意可知 $x > 0$，虛部 $y = 3$（固定）。在複平面上，這對應座標 $(x, 3)$，其中 $x > 0$。這是一條平行於實軸且位於第一象限內的射線。
回答錯誤
提示： 虛部固定為 $3$ 表示縱座標不變，實部為正數表示橫座標在右側無限延伸。
問題 4
計算複數運算的結果：$(-3-4i) + (2+i) - (1-5i)$。
$-2+2i$
$-2-8i$
$0$
$-4+2i$
回答正確！
解析：將實部與虛部分別合併：
實部：$-3 + 2 - 1 = -2$
虛部：$(-4 + 1 - (-5))i = (-4 + 1 + 5)i = 2i$
結果為 $-2 + 2i$。
實部：$-3 + 2 - 1 = -2$
虛部：$(-4 + 1 - (-5))i = (-4 + 1 + 5)i = 2i$
結果為 $-2 + 2i$。
回答錯誤
提示： 分別計算所有實數的和與所有虛部係數的和。注意減去負數等於加上正數。
問題 5
已知複數 $z$ 的虛部為 $\sqrt{3}$，在複平面上複數 $z$ 對應的向量的模為 $2$，求這個複數 $z$。
$1 + \sqrt{3}i$ 或 $-1 + \sqrt{3}i$
$1 + \sqrt{3}i$
$\pm 1 - \sqrt{3}i$
$\sqrt{7} + \sqrt{3}i$
回答正確！
解析：設 $z = a + \sqrt{3}i$。根據模的定義：$|z| = \sqrt{a^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$。
平方得：$a^2 + 3 = 4 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$。
因此 $z = 1 + \sqrt{3}i$ 或 $z = -1 + \sqrt{3}i$。
平方得：$a^2 + 3 = 4 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$。
因此 $z = 1 + \sqrt{3}i$ 或 $z = -1 + \sqrt{3}i$。
回答錯誤
提示： 使用模公式 $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$，已知 $b = \sqrt{3}$ 且 $|z|=2$，求解 $a$。
問題 6
複數 $(a+bi)$ 與 $(c+di)$ 的積是實數的充要條件是：
$ad+bc=0$
$ac+bd=0$
$ac=bd$
$ad=bc$
回答正確！
解析：$(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$。若積為實數，則其虛部必須為零，即 $ad+bc=0$。
回答錯誤
提示： 展開乘法 $(a+bi)(c+di)$，尋找讓 $i$ 的係數（虛部）為 $0$ 的條件。
問題 7
在複數集 $\mathbb{C}$ 中解方程 $4x^2+9=0$。
$x = \pm \frac{3}{2}i$
$x = \pm \frac{9}{4}i$
$x = \frac{3}{2}i$
無解
回答正確！
解析：$4x^2 = -9 \implies x^2 = -\frac{9}{4}$。在複數範圍內，負數可以開平方：$x = \pm \sqrt{-\frac{9}{4}} = \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \cdot i = \pm \frac{3}{2}i$。
回答錯誤
提示： 方程變為 $x^2 = -\frac{9}{4}$。利用虛數單位 $i^2 = -1$ 來解方程。
問題 8
若複數 $z$ 的模為 $5$，虛部為 $-4$，則複數 $z$ 為：
$3-4i$ 或 $-3-4i$
$3-4i$
$\pm 3 + 4i$
$\pm 9 - 4i$
回答正確！
解析：設 $z = a - 4i$。$|z| = \sqrt{a^2 + (-4)^2} = 5 \implies a^2 + 16 = 25 \implies a^2 = 9 \implies a = \pm 3$。所以 $z = 3-4i$ 或 $z = -3-4i$。
回答錯誤
提示： 代入模公式 $|z|^2 = a^2 + b^2$，注意 $b = -4$。
問題 9
求複平面上兩個複數 $z_1=8+5i$ 與 $z_2=4+2i$ 對應兩點間的距離。
$5$
$\sqrt{13}$
$25$
$7$
回答正確！
解析：距離 $d = |z_1 - z_2| = |(8-4) + (5-2)i| = |4+3i|$。計算模得 $d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$。
回答錯誤
提示： 距離等於兩複數之差的模，即 $|z_1 - z_2|$。
挑戰：軌跡的奧秘
複數模的幾何意義綜合應用
在複平面上，動點 $Z$ 對應的複數為 $z$。已知 $z$ 滿足以下條件，請分析其軌跡：
$|z - 1| = |z - i|$
Q1
從幾何角度來看，$|z - 1|$ 與 $|z - i|$ 分別代表什麼？
解析：
根據複數模的幾何意義：
1. $|z - 1|$ 表示動點 $Z$ 到定點 $A(1, 0)$ 的距離。
2. $|z - i|$ 表示動點 $Z$ 到定點 $B(0, 1)$ 的距離。
方程 $|z - 1| = |z - i|$ 表示點 $Z$ 到兩定點 $A, B$ 的距離相等。
根據複數模的幾何意義：
1. $|z - 1|$ 表示動點 $Z$ 到定點 $A(1, 0)$ 的距離。
2. $|z - i|$ 表示動點 $Z$ 到定點 $B(0, 1)$ 的距離。
方程 $|z - 1| = |z - i|$ 表示點 $Z$ 到兩定點 $A, B$ 的距離相等。
Q2
根據 Q1 的幾何含義，點 $Z$ 的軌跡是什麼圖形？
解析：
到兩定點距離相等的點的軌跡是連接這兩點的線段的中垂線。在複平面上，點 $A(1, 0)$ 與 $B(0, 1)$ 的中垂線正是直線 $y = x$。
到兩定點距離相等的點的軌跡是連接這兩點的線段的中垂線。在複平面上，點 $A(1, 0)$ 與 $B(0, 1)$ 的中垂線正是直線 $y = x$。
Q3
嘗試用代數法證明：設 $z = x + yi$，代入原方程並化簡。
詳細推導：
設 $z = x + yi$ ($x, y \in \mathbb{R}$)，則：
$| (x-1) + yi | = | x + (y-1)i |$
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$
兩邊平方：
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$
化簡得：$-2x = -2y \implies y = x$。
這證實了軌跡是第一、三象限的角平分線。
設 $z = x + yi$ ($x, y \in \mathbb{R}$)，則：
$| (x-1) + yi | = | x + (y-1)i |$
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$
兩邊平方：
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$
化簡得：$-2x = -2y \implies y = x$。
這證實了軌跡是第一、三象限的角平分線。
✨ 核心要點
虛數單位 $i$，$i^2$ 等於 $-1$。實部橫向走，虛部向上飛。模長勾股定理，兩點距離減法得。代數幾何是一家，複數平面美如畫！
💡 虛部不是 $bi$
這是一個極易犯錯的點。複數 $a+bi$ 的虛部是實數 $b$，而不是 $bi$。例如 $3+4i$ 的虛部是 $4$。
💡 複數不能比較大小
實數可以在數軸上比較大小，但複數（非實數）之間不能比較大小。你不能說 $2+i > 1+i$，但它們的「模」（距離）是可以比較大小的。
💡 純虛數的判定
若複數 $z=a+bi$ 是純虛數，必須滿足兩個條件：$a=0$ 且 $b \neq 0$。如果 $b$ 也等於 $0$，那它就是實數 $0$。
💡 共軛複數的幾何對稱性
複數 $z$ 與其共軛複數 $\bar{z}$ 在複平面上關於實軸對稱；$z$ 與 $-z$ 關於原點對稱。
💡 距離公式的靈活運用
$|z - z_0| = r$ 在複平面上表示以 $z_0$ 為圓心，$r$ 為半徑的圓。這是解決複數軌跡問題的核心。